Công thức tính độ dài vectơ, đoạn thẳng trong hệ tọa độ Oxy và Oxyz

Công thức tính độ dài vectơ, độ dài đoạn thẳng trong hệ tọa độ Oxy (mặt phẳng) và Oxyz (không gian).

Công thức tính độ dài trong mặt phẳng Oxy

Độ dài của vectơ

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho vectơ $\vec{u}=(x,y)$. Độ dài của vectơ $\vec{u}$ được tính theo công thức sau: $$|\vec{u}|=\sqrt{x^2+y^2}.$$

Độ dài của đoạn thẳng

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hai điểm phân biệt $A(x,y), B(x',y')$. Độ dài của đoạn thẳng $AB$ được tính theo công thức sau: $$AB=|\vec{AB}|=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}.$$

Ví dụ

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho vectơ $\vec{u}=(3;4)$ và hai điểm $A(2;1), B(-4;9)$. Khi đó:
a) Độ dài của vectơ $\vec{u}$ là $|\vec{u}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5.$
b) Độ dài của đoạn thẳng $AB$ là $AB=\sqrt{(-4-2)^2+(9-1)^2}=\sqrt{100}=10.$

Công thức tính độ dài trong không gian Oxyz

Độ dài của vectơ trong Oxyz

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho vectơ $\vec{u}=(x,y,z)$. Độ dài của vectơ $\vec{u}$ được tính theo công thức sau: $$|\vec{u}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$

Độ dài của đoạn thẳng trong không gian

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm phân biệt $A(x,y,z), B(x',y',z')$. Độ dài của đoạn thẳng $AB$ được tính theo công thức sau: $$AB=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2+(z'-z)^2}.$$

Ví dụ trong Oxyz

Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\vec{u}=(1;-2;2)$ và hai điểm $A(1;2;3), B(4;6;8)$. Khi đó:
a) Độ dài của vectơ $\vec{u}$ là $|\vec{u}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{9}=3.$
b) Độ dài của đoạn thẳng $AB$ là $AB=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2+(8-3)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$

Xem thêm: Cách bấm máy casio để tính độ dài của vectơ

Biểu thức tọa độ của TÍCH VÔ HƯỚNG trong mp Oxy và không gian Oxyz

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng Oxy và trong không gian Oxyz. Bình phương vô hướng của vectơ.

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong mặt phẳng

Công thức

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hai vectơ $\vec{a}=(a_1,a_2), \vec{b}=(b_1,b_2)$. Tích vô hướng của chúng được tính theo công thức sau: $$\vec{a}.\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2.$$

Bình phương vô hướng

$$\vec{a}^2=a_1^2+a_2^2.$$

Ví dụ

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai vectơ $\vec{a}=(2;5), \vec{b}=(-3;4)$. Khi đó:
a) Tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $\vec{a}.\vec{b}=2×(-3)+5×4=14.$
b) Bình phương vô hướng của vectơ $\vec{a} $ là $\vec{a}^2=2^2+5^2=29.$
c) Bình phương vô hướng của vectơ $\vec{b} $ là $\vec{b}^2=(-3)^2+4^2=25.$

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong không gian

Công thức (Oxyz)

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3), \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$. Tích vô hướng của chúng được tính theo công thức sau: $$\vec{a}.\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.$$

Bình phương vô hướng (Oxyz)

$$\vec{a}^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2.$$

Ví dụ (Oxyz)

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}=(2;3;4), \vec{b}=(-5;6;-7)$. Khi đó:
a) Tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $\vec{a}.\vec{b}=2×(-5)+3×6+4×(-7)=-20.$
b) Bình phương vô hướng của mỗi vectơ là $\vec{a}^2=2^2+3^2+4^2=29\\ \vec{b}^2=(-5)^2+6^2+(-7)^2=110.$

Xem thêm: Cách bấm máy casio để tính tích vô hướng của hai vectơ

Khai triển bình phương của tổng 3 số hạng $(a+b+c)^2=?$

Bài viết này sẽ nêu công thức khai triển bình phương của tổng 3 số hạng và chứng minh của hằng đẳng thức đáng nhớ này.

Công thức khai triển bình phương của tổng 3 số hạng

Với mọi số thực $a,b,c$ ta có $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca).$
Đẳng thức này là hệ quả của hằng đẳng thức đáng nhớ số 1 và có thể xem là hằng đẳng thức đáng nhớ số 8.

Chứng minh hằng đẳng thức đáng nhớ thứ 8

Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ thứ nhất (hai lần), ta có
$(a+b+c)^2=[(a+b)+c]^2\\ =(a+b)^2+2(a+b)c+c^2\\ =a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2\\ =a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca).$
Vậy đẳng thức được chứng minh.

Tổng quát: Khai triển bình phương của tổng n số hạng.

Chứng minh hằng đẳng thức đáng nhớ thứ 7 a³-b³=?

Hằng đẳng thức đáng nhớ thứ 7 về hiệu của hai lập phương a³-b³=?.

Hằng đẳng thức đáng nhớ thứ 7

Với mọi số thực $a,b$ ta có $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$

Chứng minh hằng đẳng thức thứ 7

Biến đổi vế phải $(a-b)(a^2+ab+b^2)\\= a(a^2+ab+b^2)-b(a^2+ab+b^2)\\ =a^3+a^2b+ab^2-(ba^2+ab^2+b^3)\\ =a^3-b^3.$
ta được vế trái.

Áp dụng hằng đẳng thức thứ 7

Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử $P(x)=x^3-27$.
Giải.Áp dụng hằng đẳng thức thứ 7 cho $a=x$ và $b=3$ ta được
$P(x)=x^3-3^3\\=(x-3)(x^2+x.3+3^2)\\=(x-3)(x^2+3x+9).$
Ví dụ 2. Phân tích đa thức $Q(x)=8x^3-1$ thành nhân tử.
Giải.Ta có $Q(x)=8x^3-1=2^3x^3-1=(2x)^3-1^3.$
Áp dụng hằng đẳng thức thứ 7 cho $a=2x$ và $b=1$ ta được
$Q(x)=(2x)^3-1^3\\=(2x-1)[(2x)^2+2x.1+1^2]\\=(2x-1)(4x^2+2x+1).$

Chứng minh hằng đẳng thức đáng nhớ tổng của hai lập phương a^3+b^3=?

Hằng đẳng thức đáng nhớ thứ 6 về tổng của hai lập phương a³+b³=?.

Hằng đẳng thức đáng nhớ thứ 6

Với mọi số thực $a,b$ ta có $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$

Chứng minh hằng đẳng thức thứ 6

Biến đổi vế phải $(a+b)(a^2-ab+b^2)\\= a(a^2-ab+b^2)+b(a^2-ab+b^2)\\ =a^3-a^2b+ab^2+ba^2-ab^2+b^3\\ =a^3+b^3.$

Áp dụng hằng đẳng thức thứ 6

Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử $P(x)=x^3+27$.
Giải.Áp dụng hằng đẳng thức thứ 6 cho $a=x$ và $b=3$ ta được
$P(x)=x^3+3^3\\=(x+3)(x^2-x.3+3^2)\\=(x+3)(x^2-3x+9).$
Ví dụ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử $Q(x)=3x^3+24$.
Giải.Ta có $Q(x)=3(x^3+8)=3(x^3+2^3)$.
Áp dụng hằng đẳng thức thứ 6 cho $a=x$ và $b=2$ ta được
$Q(x)=3(x+2)(x^2-x.2+2^2)\\=3(x+2)(x^2-2x+4).$
Ví dụ 3. Phân tích đa thức $R(x)=8x^3+1$ thành nhân tử.
Giải. Áp dụng hằng đẳng thức thứ 6 cho $a=2x$ và $b=1$ ta được
$R(x)=(2x)^3+1^3\\=(2x+1)[(2x)^2-2x.1+1^2]\\=(2x+1)(4x^2-2x+1).$

Chứng minh tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: chứng minh và ví dụ minh họa. Một tính chất được sử dụng nhiều ở chương trình toán lớp 7 và toán thcs nói chung.

Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (dạng cơ bản)

Nếu $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ thì

$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}.$$

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

Chứng minh

Đặt $k=\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$. Ta suy ra $a=kb, \ c=kd$.
Từ đó
$\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{kb+kd}{b+d}=\dfrac{k(b+d)}{b+d}=k \ \ (b+d\ne 0).$
và
$\dfrac{a-c}{b-d}=\dfrac{kb-kd}{b-d}=\dfrac{k(b-d)}{b-d}=k \ \ (b-d\ne 0).$
Vậy $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}$.

Ví dụ

Ta có $\dfrac{3}{6}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{3+2}{6+4}=\dfrac{3-2}{6-4}$ (đều bằng $0,5$).

Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (dạng mở rộng)

Từ tính chất cơ bản ở mục trên, ta có thể mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau, chẳng hạn:
Nếu $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}$ thì

$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}=\dfrac{a+c+e}{b+d+f}=\dfrac{a-c+e}{b-d+f}.$$

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

Chứng minh

Đặt $k=\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}$. Ta suy ra $a=kb, \ c=kd, \ e=kf$.
Từ đó
$\dfrac{a+c+e}{b+d+f}=\dfrac{kb+kd+kf}{b+d+f}\\=\dfrac{k(b+d+f)}{b+d+f}=k \ \ (b+d+f\ne 0).$
và
$\dfrac{a-c+e}{b-d+f}=\dfrac{kb-kd+kf}{b-d+f}\\=\dfrac{k(b-d+f)}{b-d+f}=k \ \ (b-d+f\ne 0).$
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ

Ta có $\dfrac{4}{16}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}=\dfrac{4+2+1}{16+8+4}=\dfrac{4-2+1}{16-8+4}$ (đều bằng $0,25$).

Bộ số tỉ lệ và kí hiệu

Kí hiệu

Nếu có dãy tỉ số $\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{9}$ thì ta nói: các số $a,b,c$ tỉ lệ với các số $2;5;9$ và ta cũng viết: $a:b:c=2:5:9$. Vậy

$$a:b:c=2:5:9 \Leftrightarrow \dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{9}$$

Ví dụ

$4:10:18=2:5:9, \\ 9:12:15=3:4:5.$

Chứng minh hằng đẳng thức $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ và áp dụng

Chứng minh và ví dụ áp dụng của hằng đẳng thức đáng nhớ thứ hai (a-b)²=a²-2ab+b².

Hằng đẳng thức đáng nhớ thứ 2

Với mọi số thực $a,b$ ta có $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Chứng minh hằng đẳng thức thứ 2

Cách 1.
Ta có $(a-b)^2=(a-b)(a-b)\\ =a^2-ab-ba+b^2\\ =a^2-2ab+b^2.$
Cách 2. Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ thứ nhất
$(a-b)^2=[a+(-b)]^2\\ =a^2+2×a×(-b)+b^2\\ =a^2-2ab+b^2.$

Áp dụng hằng đẳng thức thứ 2

Ví dụ 1. Khai triển $R(x)=(2x-5)^2$.
Giải.Áp dụng hằng đẳng thức thứ 2 cho $a=2x$ và $b=5$ ta được
$R(x)=(2x-5)^2\\=(2x)^2-2×2x×5+5^2\\=4x^2-20x+25.$

Ví dụ 2. Khai triển $S(x)=(4-7x)^2$.
Giải. Áp dụng hằng đẳng thức thứ 2 cho $a=4$ và $b=7x$ ta được
$S(x)=(4-7x)^2\\=4^2-2×4×7x+(7x)^2\\=16-56x+49x^2.$

Hằng đẳng thức $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ chứng minh và ví dụ áp dụng

Bài viết này sẽ nêu chứng minh và ví dụ áp dụng của hằng đẳng thức đáng nhớ thứ nhất (a+b)²=a²+2ab+b².

Hằng đẳng thức đáng nhớ thứ nhất

Với mọi số thực $a,b$ ta có $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Chứng minh hằng đẳng thức thứ nhất

Ta có $(a+b)^2=(a+b)(a+b)\\ =a(a+b)+b(a+b)\\ =a^2+ab+ba+b^2\\ =a^2+2ab+b^2.$

Áp dụng hằng đẳng thức thứ nhất

Ví dụ 1. Khai triển $P(x)=(x+3)^2$.
Giải.Áp dụng hằng đẳng thức thứ nhất cho $a=x$ và $b=3$ ta được
$P(x)=(x+3)^2\\=x^2+2×x×3+3^2\\=x^2+6x+9.$
Ví dụ 2. Khai triển $Q(x)=(4x+5)^2$.
Giải. Áp dụng hằng đẳng thức thứ nhất cho $a=4x$ và $b=5$ ta được
$Q(x)=(4x+5)^2\\=(4x)^2+2×4x×5+5^2\\=16x^2+40x+25.$