Chứng minh tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: chứng minh và ví dụ minh họa. Một tính chất được sử dụng nhiều ở chương trình toán lớp 7 và toán thcs nói chung.

Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (dạng cơ bản)

Nếu $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ thì

$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}.$$

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

Chứng minh

Đặt $k=\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$. Ta suy ra $a=kb, \ c=kd$.
Từ đó
$\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{kb+kd}{b+d}=\dfrac{k(b+d)}{b+d}=k \ \ (b+d\ne 0).$
và
$\dfrac{a-c}{b-d}=\dfrac{kb-kd}{b-d}=\dfrac{k(b-d)}{b-d}=k \ \ (b-d\ne 0).$
Vậy $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}$.

Ví dụ

Ta có $\dfrac{3}{6}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{3+2}{6+4}=\dfrac{3-2}{6-4}$ (đều bằng $0,5$).

Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (dạng mở rộng)

Từ tính chất cơ bản ở mục trên, ta có thể mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau, chẳng hạn:
Nếu $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}$ thì

$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}=\dfrac{a+c+e}{b+d+f}=\dfrac{a-c+e}{b-d+f}.$$

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

Chứng minh

Đặt $k=\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}$. Ta suy ra $a=kb, \ c=kd, \ e=kf$.
Từ đó
$\dfrac{a+c+e}{b+d+f}=\dfrac{kb+kd+kf}{b+d+f}\\=\dfrac{k(b+d+f)}{b+d+f}=k \ \ (b+d+f\ne 0).$
và
$\dfrac{a-c+e}{b-d+f}=\dfrac{kb-kd+kf}{b-d+f}\\=\dfrac{k(b-d+f)}{b-d+f}=k \ \ (b-d+f\ne 0).$
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ

Ta có $\dfrac{4}{16}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}=\dfrac{4+2+1}{16+8+4}=\dfrac{4-2+1}{16-8+4}$ (đều bằng $0,25$).

Bộ số tỉ lệ và kí hiệu

Kí hiệu

Nếu có dãy tỉ số $\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{9}$ thì ta nói: các số $a,b,c$ tỉ lệ với các số $2;5;9$ và ta cũng viết: $a:b:c=2:5:9$. Vậy

$$a:b:c=2:5:9 \Leftrightarrow \dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{9}$$

Ví dụ

$4:10:18=2:5:9, \\ 9:12:15=3:4:5.$