Chứng minh hằng đẳng thức đáng nhớ tổng của hai lập phương a^3+b^3=?

Hằng đẳng thức đáng nhớ thứ 6 về tổng của hai lập phương a³+b³=?.

Hằng đẳng thức đáng nhớ thứ 6

Với mọi số thực $a,b$ ta có $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$

Chứng minh hằng đẳng thức thứ 6

Biến đổi vế phải $(a+b)(a^2-ab+b^2)\\= a(a^2-ab+b^2)+b(a^2-ab+b^2)\\ =a^3-a^2b+ab^2+ba^2-ab^2+b^3\\ =a^3+b^3.$

Áp dụng hằng đẳng thức thứ 6

Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử $P(x)=x^3+27$.
Giải.Áp dụng hằng đẳng thức thứ 6 cho $a=x$ và $b=3$ ta được
$P(x)=x^3+3^3\\=(x+3)(x^2-x.3+3^2)\\=(x+3)(x^2-3x+9).$
Ví dụ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử $Q(x)=3x^3+24$.
Giải.Ta có $Q(x)=3(x^3+8)=3(x^3+2^3)$.
Áp dụng hằng đẳng thức thứ 6 cho $a=x$ và $b=2$ ta được
$Q(x)=3(x+2)(x^2-x.2+2^2)\\=3(x+2)(x^2-2x+4).$
Ví dụ 3. Phân tích đa thức $R(x)=8x^3+1$ thành nhân tử.
Giải. Áp dụng hằng đẳng thức thứ 6 cho $a=2x$ và $b=1$ ta được
$R(x)=(2x)^3+1^3\\=(2x+1)[(2x)^2-2x.1+1^2]\\=(2x+1)(4x^2-2x+1).$