Đạo hàm và nguyên hàm của hàm số y=lnx

Đạo hàm và nguyên hàm của hàm số $y=\ln x$ (hàm logarit tự nhiên).

Đạo hàm của hàm số y=lnx

Định lí

Hàm số $y=\ln x$ có đạo hàm trên khoảng $(0,+\infty)$ và $$y'=\frac{1}{x}.$$ Vậy $$(\ln x)'=\frac{1}{x}, \ \ \forall x>0. $$

Hệ quả

1) $(\ln |x|)'=\dfrac{1}{x}, \ \ \forall x\ne 0.$
2) $\displaystyle \int \dfrac{1}{x} dx=\ln |x|+C.$

Nguyên hàm của lnx

Công thức

Hàm số $y=\ln x$ có nguyên hàm trên khoảng $(0,+\infty)$ và $$\int \ln x dx=x\ln x-x+C.$$ Công thức này có thể tìm ra bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Chứng minh

Với mọi $x>0$ ta có $(x\ln x-x)'=\ln x+x.\dfrac{1}{x}-1=\ln x.$